Épreuves successives indépendantes - Exercice résolu

Une joueuse de basket réussit un panier à trois points avec une probabilité égale à \(\dfrac{1}{3}\) .

Cette joueuse effectue trois tirs successifs à trois points et on suppose que les tirs sont indépendants les uns des autres.

On note :

• \(R_1\) l'événement : « La joueuse réussit son premier tir » ;
  
• \(R_2\) l'événement : « La joueuse réussit le deuxième tir » ;
  
• \(R_3\) l'événement : « La joueuse réussit le troisième tir ».
  

Dans cet exercice, les probabilités seront données sous forme de fractions irréductibles.

1. Expliquer pourquoi cette expérience est constituée de trois épreuves successives indépendantes. Que peut-on en déduire pour les probabilités des événements  \(R_1\) ,  \(R_2\)  et  \(R_3\)  ?

2. Construire un arbre pondéré représentant cette situation.

3. a. Calculer la probabilité que la joueuse réussisse ses trois tirs.

    b. En déduire la probabilité qu'elle rate au moins un tir.

4. Calculer la probabilité qu'elle réussisse exactement un tir.

Solution

1. On suppose que les tirs sont indépendants les uns des autres, donc cette expérience est constituée de trois épreuves successives indépendantes. 

On en déduit que :  \(P(R_1)=P(R_2)=P(R_3)=\dfrac{1}{3}\) . 

2. 

3. a. La probabilité que la joueuse réussisse ses trois tirs correspond à la probabilité du chemin passant par  `R_1` ,  `R_2`  et  `R_3` . Elle est donc égale à  \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^3\)  soit  \(\dfrac{1}{27}\) .

    b. L'événement  « La joueuse rate au moins un tir » est l'événement contraire de l'événement « La joueuse réussit ses trois tirs ».

La probabilité que la joueuse rate au moins un tir est donc égale à  \(1-\dfrac{1}{27}\)  soit  \(\dfrac{26}{27}\) .

4. Il y a trois chemins qui mènent à l'événement « La joueuse réussit exactement un tir » : celui qui passe par  \(R_1\) ,  \(\overline{R_2}\)  et  \(\overline{R_3}\) , celui qui passe par  \(\overline{R_1}\) ,  \(R_2\)  et  \(\overline{R_3}\)  et celui qui passe par  \(\overline{R_1}\) ,  \(\overline{R_2}\)  et  \(R_3\) .

Sa probabilité est donc égale à :

\(\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{3}\times \dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}\times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{27}+\dfrac{4}{27}+\dfrac{4}{27}=\dfrac{12}{27}=\dfrac{4}{9}\) .

La probabilité que la joueuse réussisse exactement un tir est égale à  \(\dfrac{4}{9}\) .

Remarque    

On constate que la probabilité de chacun de ces trois chemins est la même,  \(\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3}\) , car sur chacun des chemins, il y a un tir réussi et deux tirs ratés.

On aurait donc pu calculer la probabilité que la joueuse réussisse exactement un tir en calculant  \(3 \times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{2}{3}\) .